给 AI 补数学课，人工智能可证明数学数据库中 82% 的问题了

要知道，随着数学定理愈加复杂，之后再仅凭人力来论证定理只会变得更加困难。因此，用计算机论证数学定理已经成为一个研究焦点。

此前 OpenAI 也提出过专攻这一方向的模型 GPT-f，它能论证 Metamath 中 56% 的问题。而这次提出的最新方法，能将这一数字提升到 82.6%。

与此同时，研究人员表示该方法使用的时间还更短，与 GPT-f 相比可以将计算消耗缩减到原本的十分之一。难道说这一次 AI 大战数学，是要成功了？

还是 Transformer

本文提出的方法为一种基于 Transformer 的在线训练程序。大致可以分为三步：

• 第一、在数学证明库中预训练；

• 第二、在有监督数据集上微调策略模型；

• 第三、在线训练策略模型和判断模型。

具体来看是利用一种搜索算法，让模型在已有的数学证明库中学习，然后去推广证明更多的问题。其中数学证明库包括 3 种，分别是 Metamath、Lean 和自研的一种证明环境。这些证明库简单来说，就是把普通数学语言转换成近似于编程语言的形式。

Metamath 的主库是 set.mm，包含基于 ZFC 集合论的约 38000 个证明。Lean 更为人熟知的，是微软那个可以参加 IMO 赛事的 AI 算法。Lean 库就是为了教会同名算法所有的本科数学知识，并让它学会证明这些定理。

这项研究的主要目标，是为了构建一个证明器，让它可以自动生成一系列合适的策略去论证问题。为此，研究人员提出了一个基于 MCTS 的非平衡超图证明搜索算法。

MCTS 译为蒙特卡洛树搜索，常用于解决博弈树问题，它因为 AlphaGo 所被人熟知。它的运行过程，就是通过在搜索空间中随机抽样来找寻有希望的动作，然后根据这个动作来扩展搜索树。

本项研究采用的思路类似于此。搜索证明过程从目标 g 开始，向下搜索方法，逐步发展成一个超图（Hypergraph）。当出现一个分支下出现空集时，就意味着找到了一个最优证明。最后，在反向传播过程中，记下超树的节点值和总操作次数。

在这个环节中，研究人员假设了一个策略模型和一个判断模型。策略模型允许判断模型进行抽样，判断模型可以评估当前策略找到证明方法的能力。整个搜索算法，就以如上两个模型作为参照。而这两个模型都是 Transformer 模型，且权值共享。

接下来，就到了在线训练的阶段。这个过程中，控制器会将语句发送给异步 HTPS 验证，并收集训练和证明数据。然后验证器会将训练样本发送给分布式训练器，并定期同步其模型副本。

实验结果

在测试环节，研究人员将 HTPS 与 GPT-f 进行了比较。后者是 OpenAI 此前提出的数学定理推理模型，同样基于 Transformer。结果表明，在线训练后的模型可以证明 Metamath 中 82% 的问题，远超 GPT-f 此前 56.5% 的记录。

在 Lean 库中，这一模型可以证明其中 43% 的定理，比 SOTA 提高了 38%，以下是该模型证明出的 IMO 试题。

不过目前它还不是十全十美。比如在如下这道题中，它并没有用最简便的办法解出题目，研究人员表示这是因为注释中出现了错误。

One More Thing

用计算机论证数学问题，四色定理的证明便是最为人熟知的例子之一。四色定理是近代数学三大难题之一，它提出“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家，着上不同的颜色”。

由于这一定理的论证需要大量计算，在它被提出后 100 年内，都没有人能完全论证。直到 1976 年，在美国伊利诺斯大学两台计算机上，经过 1200 小时、100 亿次判断后，终于可以论证任何一张地图都只需要 4 种颜色来标记，由此也轰动了整个数学界。

加之随着数学问题愈加复杂，用人力来检验定理是否正确也变得更加困难。近来，AI 界也把目光逐步聚焦在数学问题上。

2020 年，OpenAI 推出数学定理推理模型 GPT-f，可用于自动定理证明。这一方法可完成测试集中 56.5% 的证明，超过当时 SOTA 模型 MetaGen-IL30% 以上。

同年，微软也发布了可以做出 IMO 试题的 Lean，这意味着 AI 能做出没见过的题目了。去年，OpenAI 给 GPT-3 加上验证器后，做数学题效果明显好于此前微调的办法，可以达到小学生 90% 的水平。

今年 1 月，来自 MIT + 哈佛 + 哥伦比亚大学 + 滑铁卢大学的一项联合研究表明，他们提出的模型可以做高数了。总之，科学家们正在努力让 AI 这个偏科生变得文理双全。

论文地址：

https://arxiv.org/abs/2205.11491

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